Séance Séminaire

Séminaire des Doctorant·e·s

De la géométrie des équations différentielles ordinaires d'ordre deux aux structures Lagrangiennes de contact.

Représentons les solutions (locales) d'une équation différentielle ordinaire scalaire (E) d'ordre deux par leurs graphes (non-paramétrés). On obtient alors un ensemble de courbes du plan vérifiant la propriété suivante : une unique courbe passe par chaque point et dans chaque direction tangente. Pour l'équation triviale y"=0, on obtient par exemple l'ensemble des droites affines du plan. Est-il possible de redresser, par un difféomorphisme du plan, l'ensemble des graphes des solutions de (E) sur celles de y"=0, i.e. sur l'ensemble des droites affines du plan ? En d'autres termes, toutes les EDO scalaires d'ordre deux sont-elles équivalentes, au sens géométrique que nous avons choisi, à l'équation y"=0 ? Dans cet exposé, nous traduirons cette question à travers l'étude d'une structure géométrique rigide définie sur le fibré des directions tangentes au plan, et nommée structure Lagrangienne de contact. Nous expliquerons par la suite pourquoi ces structures apparaissent naturellement dans des contextes dynamiques, et pourquoi leur étude permet d'en apprendre plus sur les systèmes en question.