Séance Séminaire

Séminaire Algèbre Géométrie Algébrique Topologie Algébrique

Support des modules simples sphériques des algèbres de Cherednik rationnelles

Étant donné un groupe de réflexions complexes W agissant sur V, on considère l'algèbre de Cherednik rationnelle H_c(W) (pour les experts : à t=1). C'est une déformation du produit semi-direct de l'algèbre des opérateurs différentiels algébriques sur V par l'algèbre du groupe W, dépendant du choix d'un paramètre c, qui est une fonction W-invariante sur l'ensemble des réflexions de W. La représentation polynomiale a un unique quotient simple, dit sphérique. Un problème classique est de déterminer le support d'un tel module en fonction du paramètre c, et en particulier de comprendre quand ce module est de dimension finie. Il y a une dizaine d'années, Varagnolo et Vasserot ont donné un critère pour la finitude de la dimension dans le cas d'un groupe de Weyl et pour des paramètres égaux, puis Etingof a déterminé le support dans le cas d'un groupe de Coxeter et pour des paramètres quelconques.

Dans une première partie, je ferai des rappels sur les groupes de réflexions complexes et leurs algèbres de Hecke, puis sur les algèbres de Cherednik, et j'expliquerai le critère d'Etingof. Dans une deuxième partie, je parlerai d'un critère que j'ai obtenu plus récemment avec Stephen Griffeth, valable pour tous les groupes de réflexions complexes et pour des paramètres quelconques ; il admet une forme très explicite, en termes d'éléments de Schur, si l'algèbre de Hecke de W admet une forme symétrisante (cette conjecture est démontrée pour les groupes de Coxeter, pour la série infinie, et pour certains groupes exceptionnels).