Séance Séminaire

Séminaire ACSIOM

Un schéma DDFV non linéaire pour les équations de diffusion-convection

Nous cherchons à préserver les états d’équilibre pour les problèmes de Fokker-Planck avec les méthodes DDFV. L’idée est de coupler la discrétisation des deux termes de diffusion et convection, fournissant une discrétisation précise des équations de diffusion-convection (ordre 2 et préservation des états d’équillibre), en particulier pour les modèles à convection dominante. La difficulté est que nous obtenons un schéma non linéaire (alors que le problème est linéaire), ce qui complique son analyse. Le schéma est conçu pour préserver au niveau discret, même sur des maillages déformés, les états d’équilibre et la relation d’énergie/dissipation. Cette relation est d’une importance primordiale pour rendre compte de façon précise du comportement en temps long du problème. Pour le respecter, l’équation de diffusion-convection linéaire est réécrite sous une forme non linéaire avant d’être discrétisée. La discrétisation DDFV a l’avantage d’avoir une matrice masse diagonale ce qui permet de démontrer la version discrète de la relation d’énergie/dissipation. Nous établissons l’existence de solutions positives au schéma. Grâce à des arguments de compacité, la convergence de la solution approchée vers une solution faible est démontré. Enfin, nous fournissons des illustrations numériques du bon comportement du schéma lorsque les paramètres de discrétisation tendent vers 0 et lorsque le temps tend vers l’infini.