Séance Séminaire

Séminaire Gaston Darboux

Bernhard Riemann 1861 et Gaston Darboux 1882 revisités

Les oeuvres complète de Bernhard Riemann contiennent un mémoire rédigé en latin et qu'il a soumis en 1861 (soit 7 ans après sa fameuse leçon inaugurale) à l'Académie des Sciences de Paris dans le cadre d'un concours de l'Académie sur la question de la conduction de la chaleur. Le mémoire de Riemann n'a pas reçu le prix et l'Académie a rétracté ce concours en 1868. Ce travail de Riemann est sans doute l'un des premiers textes de ce qu'on appellera plus tard l'analyse tensorielle. La question principale qu'il pose et résout est celle de déterminer à quelle condition une forme bilinéaire $g_{ij}(x)dx^idx^j$ définie sur un ouvert de $R^n$ peut être localement ramenée à une forme bilinéaire constante par un changement de coordonnées $y^j = y^j(x^1, \dots, y^n)$. Il se restreint au cas des formes bilinéaires symétriques et définies positive, c'est-à-dire au cas des métriques Riemanniennes. La condition nécessaire et suffisante est qu'une certaine expression, équivalente au tenseur de courbure de $g_{ij}$, s'annule. Le sujet a plus tard été développé et clarifié par Christoffel et Lipschitz, puis Ricci et Levi-Civita. En 1882, Gaston Darboux publie son article "sur le problème de Pfaff" dans lequel il démontre que toute forme $\omega_{ij}(x)dx^idx^j$ antisymétrique non dégénérée peut être localement ramenée à une forme bilinéaire constante par un changement de coordonnées. Ce résultat est à la base de la géométrie symplectique et joue un rôle central en mécanique Hamiltonienne. Dans cet exposé, je considérerai le problème plus général suivant : Etant donné une forme différentielle bilinéaire $h_{ij}(x)dx^idx^j$ que l'on ne suppose ni symétrique, ni antisymétrique et qui peut être dégénérée; quelles sont les conditions nécessaires et suffisantes pour l'existence de coordonnées locales plates, i.e. dans lesquelles cette forme prend des coefficients constants. Nous verrons que la résolution de ce problème fait intervenir des idées de la géométrie de Poisson et des systèmes intégrables. Ce travail est en commun avec S. Bandyopadhyay, B. Dacorogna et V.S. Matveev.