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Séminaire Algèbre Géométrie Algébrique Topologie Algébrique

Contrôle de la dimension globale d'une algèbre.

La dimension globale d'une algèbre A sur un corps est une mesure de la complication de ses représentations. Elle est 0 si A est une algèbre de matrices. Elle est 1 si A est l'algèbre de chemins d'un carquois sans cycles orientés. Elle est infinie si A est l'algèbre des nombres duaux. Je commencerai par une brève introduction à l'homologie de Hochschild de A (1945), pour expliquer la conjecture de Han (2006): si A est de dimension finie, l'homologie de Hochschild devrait contrôler la finitude de la dimension globale. Ensuite je présenterai des avancées récentes vers la preuve de la conjecture de Han, qui utilisent la version relative à une sous-algèbre B de l'homologie de Hochschild (1956). Cette théorie a peu été utilisée. Maintenant nous avons une suite proche à exacte longue, qui relie les deux homologies. Son écart à être exacte peut être approchée par une suite spectrale dont la première page est constituée de foncteurs Tor des puissances tensorielles de A/B sur B. Cet outil nous permet de montrer que la classe d'algèbres qui vérifient la conjecture de Han est fermée par des extensions bornées d'algèbres. Ces résultats ont été obtenus en collaboration avec M. Lanzilotta, E. N. Marcos et A. Solotar.