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Propriétés géométriques et énumératives du polynôme de Tutte dans les arrangements d'hyperplans réels et les matroïdes orientés

Le polynôme de Tutte est un invariant célèbre associé à un matroïde, que l'on regardera ici dans le cadre géométrique d'un arrangement d'hyperplans réels, ou plus généralement d'un matroïde orienté. Lorsque l'on considère un arrangement d'hyperplans dans le cadre des matroïdes, on ne s'interesse qu'aux relations de dépendances linéaires et au treillis d'intersection des hyperplans, alors que que dans le cadre des matroïdes orientés, où l'on ajoute une signature à l'arrangement, on s'intéresse - en plus - aux relations de convexité, aux régions formées par les hyperplans, et aux positions relatives des faces du treillis d'intersection. Les deux variables du polynôme de Tutte capturent des notions de dualité, et ses coefficients peuvent être vus comme des 'valeurs élémentaires' comptant des régions d'un certain type. Des propriétés apparaissent spécialement lorsque l'on ordonne les éléments de l'arrangement, en termes de comptage, d'invariance, de bijections, de décompositions, ou d'optimisation, dont on donnera un aperçu dans cet exposé. A noter que le polynôme caractéristique (dont il avait été question l'an dernier à l'IMAG dans le groupe de travail sur la théorie de Hodge et les matroïdes) est une particularisation à une variable de polynôme de Tutte et dont les coefficients s'obtiennent en combinant ces 'valeurs élémentaires', ainsi le polynôme de Tutte est un objet fondamental sous-jacent.