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Sur les coefficients de Littlewood-Richardson égaux à deux

les coefficients de Littlewood-Richardson sont des entiers naturels paramétrés par des triplets de partitions. Ils sont de multiples interprétations parmi lesquelles on peut citer les multiplicités de la décomposition du produit tensoriel des représentations irréductibles du groupe linéaire ou les coefficients de structure de la cohomologie des Grassmanniennes. Ceux égaux à un jouent un rôle particulier et jouissent de propriétés de stabilité remarquable. Tout d'abord, d'après une conjecture de Fulton (montrée depuis par plusieurs auteurs) ils sont stables par dilatation et transposition. Cette propriété implique leur disposition dans le cône de Horn. Ce cône est l'ensemble des triplets de partitions pour lesquels le coefficient de Littlewood-Richardson associé est non nul. C'est un cône convexe polyédral. La conjecture de Fulton implique que l'ensemble des coefficients égaux à un est une réunion de faces de ce cône. Un autre lien entre les coefficients de Littlewood-Richardson égaux à un et le cône de Horn est dû à leur interprétation en terme de la Grassmannienne : ils paramètrent les faces de codimension un de ce cône. Enfin, les coefficients sur ces faces s'écrivent comme des produits. Dans cet exposé, nous nous intéresserons aux coefficients de Littlewood-Richardson égaux à deux et étudierons le devenir des propriétés ci-dessus dans ce cadre. Cet exposé est basé sur deux articles en collaboration avec Pierre-Emmanuel Chaput.