Séance Séminaire

Séminaire Algèbre Géométrie Algébrique Topologie Algébrique

Connexions plates, groupes de tresses et groupes quantiques

Je commencerai par passer en revue la construction d'une connexion plate ∇ sur l'algèbre de Cartan h d'une algèbre de Lie semi-simple complexe g obtenue en collaboration avec J. Millson. Cette connexion est à valeurs dans une représentation de dimension finie V de g et ades pôles simples sur les hyperplans radiciels de h . Elle est une généralisation des équations de Knizhnik-Zamolodchikov (KZ) à des espaces de configuration de type de Lie autres que A ainsi que des opérateurs de Dunkl rationnels pour le groupe de Weyl W de g . Sa monodromie donne une famille à un paramètre de représentations du groupe de tresses généralisé BW de type W qui est une déformation de l'action de (une extension finie de) W sur V. J'expliquerai ensuite comment le travail de Drinfeld et Kohno sur les équations KZ porte à conjecturer que la monodromie de ∇ est décrite par les opérateurs dits de groupe de Weyl quantique définis par Lusztig et esquisserai la démonstration récente de cette conjecture. Un de ses ingrédients essentiels est la notion d' algèbres de quasi-Coxeter qui sont aux groupes de tresses généralisés ce que les algèbres quasi-triangulaires quasi-Hopf introduites par Drinfeld sont aux groupes de tresses d'Artin.