Séance Séminaire

Séminaire ACSIOM

Schémas implicites semi-Lagrangiens pour la dynamique des gaz compressibles

Ce travail s'inscrit dans le cadre général de la dynamique des fluides. La motivation principale est l'interaction fluide-structure et plus précisément le cas de structures internes fines en formalisme semi-Lagrangien. Pour commencer, nous étudions le cas des fluides, qui fait l'objet de cet exposé. Pour approcher les équations traduisant le mouvement des fluides, on utilise traditionnellement des schémas explicites qui pour être stables sont sujets à une condition CFL. Dans le cas d'interactionqui nous intéresse, l'épaisseur de la structure peut être très fine et la vitesse du son très grande. Il est donc nécessaire de prendre un pas de temps très petit et par conséquent, il est difficile d'obtenir de bons résultats numériques à faibles coûts. Pour remédier à ce problème, l'idée est d'utiliser localement des schémas implicites. Néanmoins, des difficultés techniques majeures apparaissent, notamment celle de montrer que le schéma est bien défini (la solution au temps suivant existe et est unique). Nous proposons un schéma implicite non linéaire pour la partie hydrodynamique qui résout les équations d'Euler compressibles multi-D écrites en formalisme semi-Lagrangien. Ce schéma implicite non linéaire est basé sur une méthode de prédiction-correction. La phase de prédiction résout les équations d'Euler isentropiques et la phase de correction correspond à la discrétisation des équations d'Euler avec conservation de l'énergie totale. Un théorème d'existence et d'unicité d'une solution au schéma implicite sera démontré, voir [1] pour les détails. La stabilité inconditionnelle sera évoquée au travers d'inégalités entropiques. Une attention spécifique sera portée à la définition d'un couplage implicite-explicite utilisé lors de simulations bi-fluides. Quelques résultats numériques 1D attestant de la précision et de la robustesse de ce schéma implicite seront commentés. Enfin, des résultats 2D seront présentés dans le but de montrer certaines propriétés du schéma ainsi que d'analyser les différents paramétrages (pas de temps, maillage, solveur linéaire, solveur Volume Fini). Référence : [1] A. Plessier and S. Del Pino and B. Després, "Implicit discretization of Lagrangian gas dynamics", ESAIM M2AN, 2022