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Séminaire Algèbre Géométrie Algébrique Topologie Algébrique

Schémas en groupes quasi-compacts, faisceaux de Hopf et leur représentations.

Une extension affine de la variété abélienne \(A\) est un morphisme des schémas en groupes quasi-compact, fidèlement plat \(q:G\to A\). Dans un travail avec Pedro Luis del Ángel et Walter Ferrer, nous avons proposé une théorie des représentations pour les extensions affine construite sur des fibrés vectoriels homogènes sur \(A\) . Cette théorie géneralise la théorie des repréresentations des schéma en groups affines -- de dimension finie--, et satisfait un théorème de dualité de Tannaka. Dans cet exposé nous montrerons comment lever l'obstruction sur la dimension ci-dessus , en travaillant avec la catégorie des faisceaux quasi-cohérents homogènes (que nous introduirons). Pour ceci faire, nous introduirons la notion de faisceaux de Hopf sur une variété abélienne, qui jouera le rôle qui correspond aux algèbres de Hopf dans l'étude des groupes algébriques affines --- les comodules d'un tel faisceau de Hopf seront supportés sur les faisceaux d'algèbres commutatives quasi-cohérents homogènes. Dans la première partie de l'exposé, après avoir introduit les extensions affines d'une variété abélienne \(A\) (les morphismes des schémas en groupes quasi-compacts, fidèlement plats \(q:G\to A\)) et leurs représentations, je montrerai d'une manière intuitive la correspondance entre les extensions affines et les faisceaux de Hopf, pour ensuite introduire la catégorie des comodules d'un faisceau de Hopf. Je finirai en montrant l'équivalence entre la théorie des représentations d'une extension affine et la théorie des comodules du faisceau de Hopf respectif. Dans la deuxième partie de l'exposé je donnerai un apercu des détails techniques : les extensions affines de \(A\) étant des bimonoïdes dans une catégorie duoïdale (avec la propriété additionelle de l'existence d'un morphisme inverse), elles correspondent à des bimonoïdes dans la catégorie des faisceaux quasi-cohérents sur \(A\), supportant un antipode, c'est à dire les faisceaux de Hopf. Également, je donnerai quelques détails sur la catégorie, enrichie sur Sch/k, des faisceaux d'algèbres commutatives quasi-cohérents homogènes et ses morphismes gradués. Ceci est un travail en collaboration avec Pedro Luis del Ángel et Walter Ferrer,