Séance Séminaire

Séminaire Gaston Darboux

Rigidité des actions de réseaux de rang supérieur

Les réseaux des groupes de Lie semi-simples de rang au moins 2 (comme SL(n,Z), n>2) forment une classe de groupes discrets ayant des propriétés de rigidité remarquables. Notamment, leurs représentations linéaires de dimension finie sont déterminées par celles de leur groupe de Lie ambiant (SL(n,R) dans le cas de SL(n,Z)). C'est le théorème de super-rigidité de Margulis. Motivé par un analogue ergodique de ce résultat, un ambitieux programme initié par Zimmer et Gromov dans les années 1980 propose de comprendre les "représentations non-linéaires" de ces réseaux dans Diff(M), où M est une variété compacte. En d'autres termes, il a pour but de décrire les actions différentiables de ces réseaux sur des variétés compactes. Je reviendrai d'abord sur les motivations et les origines géométriques de ce programme. Je présenterai ensuite des résultats de rigidité pour les actions de réseaux préservant des structures géométriques non-unimodulaires, comme des structures projectives ou des classes conformes, un contexte intéressant en raison de l'absence d'un volume naturel défini par la géométrie. Les preuves s'appuient sur des avancées récentes sur les conjectures de Zimmer, notamment un principe d'invariance qui assure l'existence de mesures finies invariantes dans certaines configurations dynamiques.