Séance Séminaire

Séminaire Gaston Darboux

Propriété (T) renforcée et groupes relativement hyperboliques

Une définition de la Propriété (T) est que toute action par isométrie affine sur un espace de Hilbert admet un point fixe. Cette définition souligne l'idée que les actions de groupe ayant la Propriété (T) sont rigides. Dans son travail sur la conjecture de Baum-Connes, Vincent Lafforgue a défini en 2007 un renforcement de la Propriété (T) qui implique un résultat de point fixe pour des actions affines sur des espaces de Hilbert non plus isométriques, mais dont la croissance de la norme d'opérateur est sous-exponentielle. Lafforgue a également montré que, toute action par isométrie sur un espace Gromov-hyperbolique uniformément localement fini d'un groupe ayant la Propriété (T) renforcée, admet des orbites bornées. Je présenterai un travail où je montre que les groupes relativement hyperboliques n'ont pas la Propriété (T) renforcée. L'idée de la preuve, comme celle de Lafforgue pour les groupes hyperboliques, est d'utiliser l'action sur le graphe hyperbolique pour construire une représentation de notre groupe vers un Hilbert qui soit à croissance sous-exponentielle et sans point fixe.