Séance Séminaire

Séminaire des Doctorant·e·s

Groupes quantiques : des algèbres de Lie aux Yangians

L'étude des algèbres de Lie, notamment de leurs représentations, s'est largement développée au cours du XXe siècle. Si leurs classifications, utilisées en physique pour quantifier des niveaux d'énergie de particules par exemple, sont aujourd'hui établies, les années 70-80 ont vu l'émergence des groupes quantiques. C'est à cette période que plusieurs mathématiciens-physiciens (Drinfeld, Fadeev, Jimbo, Yang, ...) s'intéressent indépendamment à l'idée de regarder les solutions d'équations dites de Yang-Baxter, permettant de décrire des symétries en mécanique quantique. À ces solutions sont associées des algèbres associatives, appelées groupes quantiques. Le but est alors de trouver de nouveaux groupes quantiques afin d'obtenir des solutions de l'équation Yang-Baxter. L'idée est de déformer la structure d'algèbre de Hopf de l'algèbre enveloppante d'une algèbre de Lie afin d'obtenir de nouvelles solutions. Ce domaine, dont les avancées ont été récompensées par la médaille Fields 1990, est encore en pleine expansion et de nombreuses applications à la physique sont à espérer de la description des groupes quantiques et de leurs représentations. Dans cet exposé, je rappelerai brièvement les principes généraux des algèbres de Lie et de leurs algèbres enveloppantes. J'expliquerai ensuite les idées de déformation pour générer un type de groupe quantique : le Yangian. Enfin, je concluerai - si le temps le permet - l'exposé avec une classification de ses représentations irréductibles de dimension finie.