Séance Séminaire

Séminaire des Doctorant·e·s

La conjecture résolue de Horn. / The solved Horn conjecture.

L'étude des relations entre les valeurs propres de deux matrices et les valeurs propres de la somme de ces deux matrices est un problème classique apparaissant, par exemple, en physique ou en analyse numérique. Au cours du vingtième siècle, un certain nombre d'inégalités furent exhibées pour caractériser les valeurs propres de la somme de deux matrices hermitiennes ; par exemple, H. Weyl en donna quelques exemples dès 1912. En 1962, A. Horn émit l'hypothèse que toutes ces relations pouvaient être décrites de manière récursive. Cette conjecture fut résolue par A. Klyachko et par A. Knutson et T. Tao à la fin du siècle dernier. Nous examinerons quelques exemples de telles relations entre valeurs propres, un théorème répondant à la conjecture de Horn, l'idée de sa preuve et deux raffinements de ce résultat. The study of the relationships between the eigenvalues of two matrices and the eigenvalues of the sum of these two matrices is a classical problem appearing, for example, in physics or numerical analysis. In the course of the 20th century, a certain number of inequalities were exhibited to characterise the eigenvalues of the sum of two Hermitian matrices ; for example, H. Weyl gave some examples as early as 1912. In 1962, A. Horn put forward the hypothesis that all these relationships could be described recursively. This conjecture was solved by A. Klyachko and by A. Knutson and T. Tao at the end of the last century. We will look at some examples of such relations between eigenvalues, a theorem answering Horn's conjecture, the idea of its proof and two refinements of this result.