Séance Séminaire

Soutenances de thèses

Sur la norme stable des surfaces plates

La norme stable est une norme, définie sur le premier groupe d'homologie des surfaces, qui mesure la longueur minimale des représentants au sein de chaque classe d'homologie. Cette norme capture une part importante de l'information géométrique portée par la surface elle-même, mais elle est peu utilisable en pratique : en effet, il est très difficile de calculer la norme stable sur une surface donnée en général, si bien que la liste des exemples connus est extrêmement restreinte. L'idée de la thèse est d'étudier la norme stable dans le cas particulier des surfaces de translation (et de demi-translation). Ces surfaces sont des exemples particulièrement sympathiques de surfaces plates à singularité coniques, sur lesquelles toute géodésique est homologue isométriquement à une concaténation de liens de selles, qui sont des géodésiques reliant les singularités de la surface. L'intérêt de ces liens de selle est qu'ils forment un ensemble discret : on peut ainsi espérer que le calcul de la norme stable sur les surfaces de (demi-)translation se ramène à un problème combinatoire.
Dans une première partie, on calcule explicitement la norme stable des tores plats fendus, c'est à dire auxquels on a retiré un segment. Comme expliqué précédemment, le calcul de la norme stable se ramène à des questions combinatoires sur les courbes fermées sur la surface. Surprenamment, la combinatoire du problème est encodée par la suite de Farey, une suite célèbre en arithmétique des rationnels, et l'énoncé des théorèmes obtenus fait fortement intervenir cette suite.
Dans une seconde partie, on recolle des tores fendus le long de cylindres plats pour produire des surfaces de demi-translation sur lesquelles on arrive à calculer complètement la norme stable. La condition pour que la construction fonctionne est que les cylindres soient longs, comparativement à leur circonférence. Ces surfaces sont les premiers exemples de surfaces de demi-translation sur lesquelles la norme stable a pu être complètement calculée. De plus, le résultat est surprenant : en effet, nous verrons que sur ces surfaces la solution à un problème de comptage de courbes relié à la norme stable est qualitativement différente des exemples précédemment connus sur des surfaces analogues.