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Des posets de partitions aux espèces en posets opéradiques

Le posets des partitions d'ensemble a été introduit dans les années 40 par Birkhoff. D'une définition très simple (les partitions d'un ensemble, ordonnées par inclusion des parts), ce poset, ainsi que ses extensions décorées, intervient dans la résolution de plusieurs problématiques algébriques. Tout d'abord, le treillis des faces de l'arrangement de tresses est isomorphe au poset des partitions, tandis que son treillis des plats correspond au poset des compositions d'ensemble, où les parts sont ordonnées. Grâce au théorème de Zaslavsky, ces posets de partitions permettent le dénombrement des régions de cet arrangement d'hyperplans et d'arrangements associés, comme nous l'avons montré avec Guillaume Laplante-Anfossi, Vincent Pilaud et Kurt Stoeckl . De plus, Benoit Fresse (pour le cas non décoré) puis Bruno Vallette (pour le cas décoré) ont établi des liens entre la "construction bar à niveaux" d'une opérade et les complexes de chaînes (ou nerf) du poset. Cela permet notamment d'identifier, dans les cas favorables, la cohomologie d'un poset de P-partitions avec la duale de Koszul de P. Dans un travail commun avec Clément Dupont, nous avons défini et étudié une structure spécifique sur certains posets qui permet de munir leur cohomologie d'une structure d'opérade. Cela permet d'étendre à un plus grand nombre de posets les résultats obtenus sur les posets de partitions. Parmi les exemples obtenus, citons les posets de fonctions de parking, les posets d'arbres de Cayley multi-étiquetés ou encore les posets d'hyperarbres. Je consacrerai la première partie de mon exposé au cas des posets de partitions décorées, à leur cohomologie et aux nombres de régions de k copies de l'arrangement de tresses, et présenterai dans la deuxième partie le cadre général des espèces en posets opéradiques avec de nouveaux exemples.