Séance Séminaire

Soutenances de thèses

Groupes relativement hyperboliques : géométrie et rigidité

Dans cette thèse, nous nous intéressons à différentes propriétés d'une classe de groupes de type fini agissant sur des espaces à courbure négative. Cette famille de groupes définie par Gromov en 1987, généralise la géométrie des groupes hyperboliques à une plus grande classe de groupes. L'idée schématique est la suivante : G est hyperbolique relativement à un sous-groupe H si la géométrie de G est hyperbolique à l'extérieur de H et de ses translatés.
Notre étude est motivée par deux questions. La première est liée à des questions de rigidité d'actions sur des espaces de Hilbert et notamment la Propriété (T) renforcée, définie par Vincent Lafforgue en 2007.
Pour tout groupe relativement hyperbolique, nous construisons une représentation polynomiale de degré 2 sans-point fixe, ce qui prouve que ces groupes n'ont pas la Propriété (T) renforcée.
La deuxième porte sur la construction d'une métrique fortement bolique pour les groupes hyperboliques relativement à des sous-groupes virtuellement abélien. L'intérêt de cette notion est un théorème de Vincent Lafforgue : couplée avec la propriété (RD), elle implique la conjecture de Baum-Connes.