Séance Séminaire

Séminaire ACSIOM

Sous-gradients de Clarke de fonctions stratifiables

La classe des fonctions continues non-lisses qui admettent une stratification lisse apparaît dans de nombreux problèmes concrets d'optimisation : optimisation semi-définie positive, problèmes de type «max», convergence des algorithmes de plus grande pente ... Pour de telles fonctions, le résultat principal donne une borne inférieure pour les normes des sous-gradients de Clarke en un point par la norme du gradient Riemannien de la restriction de la fonction à la strate qui contient le point en question. Ce cadre permet en particulier de traiter le cas des fonctions semi-algébriques et sous-analytiques (plus généralement définissables dans une structure o-minimale). Des résultats de type Morse-Sard pour le sous-différentiel de Clarke, ainsi qu'une version puissante non-lisse de l'inégalité de Lojasiewicz s'en déduisent aisément. La pertinence de ces résultats est illustrée par un exemple montrant qu'un élargissement minime mais naturelle du sous-différentiel de Clarke rend invalides les résultats précités.