GTA

Responsable : Cédric BONNAFÉ
Gestionnaire : Carmela MADONIA

Composition de l’équipe

Thèmes de recherche :

L’équipe GTA couvre un large champ des mathématiques fondamentales, comprenant la géométrie (algébrique, différentielle, non commutative, discrète et convexe), la topologie (algébrique ou différentielle) et l’algèbre au sens large (combinatoire algébrique, théorie des groupes, théorie des nombres, représentations). Depuis 2018, elle a aussi développé des groupes de travail communs avec les équipes EPS et ACSIOM. Elle est structurée en 4 thématiques (géométrie algébrique et théorie des nombres ; géométrie différentielle et théorie des groupes ; topologie, algèbre quantique et géométrie non commutative ; algèbre et géométrie combinatoires) fortement interconnectées. Elle est animée par deux séminaires hebdomadaires (AGATA et Darboux).

La géométrie algébrique à l’IMAG se décline principalement en trois axes. Une première direction est plutôt proche de la géométrie arithmétique, et concerne par exemple l’étude des torseurs, du schéma en groupes fondamental et plus généralement des formalismes Tannakiens. Tout en restant dans un contexte assez arithmétique, on étudie aussi les champs algébriques, leurs groupes de Picards et théorie d’intersection. Plus récemment, l’algèbre commutative s’est développée en vue d’applications à la théorie des nombres. En géométrie algébrique complexe, nous nous occupons d’une part de la géométrie birationnelles des variétés algébriques et des espaces de modules, de leurs invariants et théories d’intersection. D’autre, nos intérêts touchent aussi la géométrie complexe, avec des axes de recherche dédiés aux métriques de Kähler-Einstein et à la K-stabilité.

Les questions de représentations des groupes algébriques sont aussi au coeur de cette thématique :
en théorie des nombres sont étudiées les représentations des groupes p-adiques et adéliques (programme de Langlands, formule des traces), tandis que les représentations des groupes finis ou complexes sont souvent combinées à des méthodes géométriques (cohomologie des fibrés, cohomologie l-adique).

Du côté de la géométrie différentielle une attention particulière est donnée aux points de vue métrique au sens large (Finsler, riemannienne, pseudo-riemannien, tropical…). Elle inclut aujourd’hui les espaces dit singuliers. Les intérêts couvrent un spectre large allant du global voire macroscopique (e.g. volume asymptotique, entropies, propriétés d’opérateurs, flots) au local (e.g., notions de courbure et volume). Les questions de minimisation diverses étudiées nous situent à la confluence de l’analyse convexe, l’optimisation et le contrôle. L’action des groupes inévitables (difféomorphismes, isométries, mais aussi structures projectives) nous renvoie régulièrement à la théorie géométrique des groupes. Celle-ci est un thème en développement. Elle est effectuée notamment par des méthodes géométriques (entropie volumique, systole, rigidité quasi-isométrique, hyperbolicités, actions sur des espaces médians), combinatoires (actions sur des complexes : simpliciaux, cubiques CAT(0), etc.) et probabilistes (marches aléatoires). Ces méthodes sont illustrées pour de nombreuses familles classiques: groupes modulaires de surfaces, groupes d’Artin, groupes de Thompson, groupes d’allumeurs de réverbères, groupes d’automates…

Les travaux de l’équipe en topologie quantique s’articulent autour des quantifications des espaces de représentations des groupes fondamentaux des surfaces et des variétés de dimension trois. Sont étudiées notamment les représentations de ces espaces (algèbres d’écheveaux « skein » et généralisations, conjecture d’unicité), leurs catégorifications, ainsi que leurs propriétés géométriques en relation avec la théorie de jauge de Chern-Simons (conjecture du volume).

La thématique Géométrie Non Commutative s’intéresse à l’étude topologique et différentielle des groupoïdes associés à certaines géométries singulières. Les invariants spectraux pour des opérateurs de type Dirac sont ainsi générés à l’aide de couplages entre diverses homologies, et vont des indices analytiques aux classes secondaires de type eta. Les homologies des algèbres associées aux groupoïdes (K-théorie topologique, homologies de Hochschild et cycliques) sont donc les principaux outils qui permettent de produire des invariants sur les espaces singuliers sous-jacents. Les exemples principaux apparaissent dans l’étude de l’espace des feuilles d’un feuilletage, du dual unitaire d’un groupe discret ou de ses actions, ou encore de l’espace transverse d’un quasi-cristal. Les applications qui sont abordées concernent la topologie de l’espace des métriques à PSC (lien avec le thème de géométrie riemannienne et la conjecture de Gromov-Lawson), l’analyse harmonique par le biais des opérateurs transversalement elliptique (lien avec le thème d’analyse harmonique), l’invariance homotopique des hautes signatures et les conjectures de Borel et de Novikov, ou encore les problème d’étiquetages des trous dans le spectre pour les quasi-cristaux (lien avec la physique du solide).