Soutenances de thèses
mardi 29 mai 2007 à - salle TD 30
Denis Trotabas (UM2)
Moments amolis et non-annulation des fonctions L des formes modulaires de Hilbert en 1/2
La conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer a permis une étude fine du rang de certaines variétés abéliennes définies sur Q. Dans le cas de la jacobienne des courbes modulaires, le problème est équivalent à l'estimation de l'ordre d'annulation en 1/2 des fonctions L des formes modulaires classiques, et fut traité sans faire appel à l'hypothèse de Riemann par Kowalski, Michel et VanderKam. Le but de cette thèse est d'étendre cette approche au cas d'un corps de nombres totalement réel, ce qui nécessite le recours à la théorie automorphe de Jacquet-Langlands et l'adélisation du problème. Pour montrer que la fonction L (resp. sa dérivée) d'une densité non nulle de formes ne s'annule pas en 1/2, on suit la méthode des moments amolis de Selberg (Iwaniec, Sarnak, Kowalski, Vanderkam et d'autres l'avaient déjà appliquée avec succès dans le cas des formes modulaires sur Q). Il est nécessaire de généraliser la formule de Petersson, après quoi on montre une asymptotique des deux moments harmoniques qui permet de retrouver les mêmes densités inconditionnelles que celles prouvées sur Q par Kowalski/Michel/VanderKam, après une étude d'un terme supplémentaire issu des formes anciennes. Les moments naturels sont alors traités et reliés aux moments harmoniques.