Séance Séminaire

Séminaire des Doctorant·e·s

Digression autour du théorème de Gauss-Bonnet

Pour une surface compacte orientable $M$ de $\mathbb{R}^3$ la quantité $\int_{M}kdA$, ou $k$ est la courbure de gauss de $M$ et $dA$ est son élément d'aire, dépend apparemment de $k$ donc de la forme de $M$ (plongement dans $\mathbb{R}^3$. Le théorème de Gauss-Bonnet montre que l'intégrale ne dépend pas du plongement choisi. Donc on peux déformer cette surface comme on veut (mais pas ajouter des trous) tout en gardant cette intégrale constante. Ce théorème montre aussi que pour une triangulation quelconque de notre surface le nombre $X(M)=F-A+S$ est constant où F=nbre de faces de la triangulations, A=nbre d'arrêtes et S=nbre de sommets. En fait on a même l'égalité $\int_{M}kdA=2\pi X(M)$.