Séance Séminaire

Séminaire Gaston Darboux

Problème de Schottky pour une géodésique de Teichmüller en genre 2

À une surface de Riemann compacte est associée sa matrice des périodes, dont la donnée détermine la structure complexe. Le problème de Schottky classique consiste à caractériser les matrices des périodes de surfaces de Riemann parmi les matrices complexes symétriques dont la partie imaginaire est définie positive. Un polygone euclidien en forme de «L» muni d'identifications naturelles définit une surface de translation, correspondant à la donnée d'une surface de Riemann compacte de genre 2 équipée d'une 1-forme holomorphe. En faisant agir le sous-groupe diagonal de SL(2,R) sur ce polygone, on définit une famille de surfaces de Riemann formant une géodésique dans l'espace de Teichmüller. La question à laquelle nous nous intéresserons dans cet exposé est de mettre en évidence des relations explicites entre les coefficients d'une matrice complexe qui sont vérifiées si, et seulement s'il s'agit d'une matrice des périodes d'une surface de cette famille. Nous donnerons une réponse dans le cas où la surface de translation est définie par le polygone en «L» obtenu en assemblant trois carrés.