Séminaire Gaston Darboux
vendredi 05 octobre 2012 à 11:15 - salle 431
Charles Boubel (Université de Strasbourg)
Endomorphismes parallèles d'un germe de métrique pseudo-riemannienne : un nouveau point de vue.
Une métrique kählerienne est une métrique riemannienne admettant un champ d'endomorphismes parallèle J (c'est-à-dire une section de End(TM) ) tel que J²=-I. Pour une métrique riemannienne ne se décomposant pas en produit, c'est le seul type possible d'endomorphisme parallèle non trivial. Ce n'est plus vrai pour les métriques pseudo-riemanniennes ; l'algèbre A des endomorphismes parallèles peut être beaucoup plus riche. J'explore cette situation. On peut notamment classifier totalement la partie semi-simple de A. Je suis venu exposer une première version de ce travail en 2010. Je développerai cette fois une analogie avec la géométrie complexe, quand la métrique admet un endomorphisme nilpotent parallèle. Il apparaît des analogues des développements en série en entière, des dérivées «holomorphe» et «antiholomorphe», du potentiel kählerien etc. Cette analogie identifie une origine simple et commune aux différentes formules parfois très lourdes exprimant les métriques en jeu. Elle permet d'obtenir assez facilement des énoncés beaucoup plus puissants que ceux donnés en 2010.