Séance Séminaire

Séminaire Gaston Darboux

Une généralisation de la suite exacte de Fadell-Neuwirth pour les groupes de tresses de surfaces

Suivant Fox, on définit le groupe de tresses pures $P_n(M)$ d'une surface $M$ (orientable et fermée de genre $g$) comme le groupe fondamental de l'espace de configuration de $M$. En considérant le morphisme qui consiste à oublier le dernier brin, on obtient une suite exacte courte $1 \to \ker(\phi) \to P_{n+1}(M) \to P_n(M) \to 1$ due à Fadell et Neuwirth. Le problème de savoir si cette suite exacte admet une section à été étudié par Fox, Fadell, Neuwirth et Birman pendant les années '60, et dans le cas $g\geq 2$, est resté ouvert jusqu'à recemment. Nous montrons qu'il y a une section si et seulement si $n=1$. La suite exacte de Fadell-Neuwirth ne s'étend pas directement aux groupes de tresses $B_n(M)$, mais en considérant les groupes de tresses `mixtes' de la forme $B_{n,m}(M)$ on peut en donner une généralisation. Dans le cas où $M$ est la sphère, nous donnons des conditions nécessaires sur $m$ et $n$ pour que cette suite exacte se scinde. Ces conditions sont obtenues d'une part en faisant intervenir la géométrie des espaces de configuration, et d'autre part en étudiant le quotient des groupes par des éléments de la suite centrale descendante. Ceci fournit une motivation pour l'étude des séries centrale descendante et dérivée des groupes de tresses de la sphère et de la sphère trouée. Ce travail est en collaboration avec D. Gonçalves (Université de São Paulo, Brésil).