Soutenances de thèses
vendredi 06 septembre 2013 à 15:00 - salle de conf. 1er étage bat. 9
Pierre Alifrangis (UM2)
Interfaces, classiques ou généralisées, comme limites d'équations de réaction diffusion, avec ou sans principe de comparaison
Jury :
Arnaud DUCROT, MCF, Université Bordeaux Segalen, Rapporteur
Danielle HILHORST, DR, Université Paris-Sud, Rapporteur
Elisabeth LOGAK, PR, Université de Cergy-Pontoise, Examinateur
Rémi CARLES, DR, Université Montpellier 2, Directeur de thèse
Matthieu ALFARO, MCF, Université Montpellier 2, CoDirecteur de thèse
Résumé de la thèse en français :
Cette thèse porte sur l'étude d'interfaces classiques ou généralisées, vu comme limites singulières de problèmes paraboliques non-linéaires de type bistable. Quand le problème admet un principe de comparaison, nous obtenons des estimations fines des taux de convergence afin de localiser la zone de transition et d'estimer son épaisseur. Dans le cas contraire, nous obtenons des résultats de convergence pour une équation perturbée par un multiplicateur de Lagrange local {it et} non-local. Au Chapitre 1, nous étudions une équation d'Allen-Cahn avec conservation de la masse, dont la perturbation locale {it et } non-locale rend le principe de comparaison caduc. Nous montrons la convergence vers le mouvement par courbure moyenne avec preservation de volume en construisant une solution approchée, puis en estimant l'erreur engendrée. Le Chapitre 2 est consacré à l'étude d'un modèle décrivant l'évolution d'une population soumise à la diffusion naturelle, la croissance et la chemotaxis. Nous obtenons des estimations fines sur le taux de convergence vers le problème à frontière libre généralisé associé, défini à l'aide de l'approche par ligne de niveau. Puis, sous certaines hypothèses, nous localisons la zone de transition par rapport à l'interface limite. Enfin, nous considérons au Chapitre 3, un système de type FitzHugh-Nagumo, décrivant la propagation de potentiels d'action au sein d'un neurone. Malgré l'absence de comparaison pour le système "entier", nous construisons des barrières raffinées afin d'obtenir la convergence vers le problème à frontière libre limite, modulo extraction.