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Hypersurfaces cubiques de dimension 4 et intersection des diviseurs de Hassett

Le problème de rationalité des hypersurfaces cubiques lisses dans $\mathbf{P}^5$ est un des problèmes les plus mystérieux en géométrie algébrique. On s'attend à ce que la cubique générale soit non rationnelle. Mais pour l'instant uniquement des exemples d'hypersurfaces cubiques rationnelles sont connues. Elles sont "spéciales", c'est-à-dire des hypersurfaces cubiques contenant une surface algébrique non homologue à une intersection complète. Ces hypersurfaces cubiques spéciales forment une union infinie dénombrable de diviseurs $\mathcal{C}_d$ (appelés diviseurs de Hassett) dans l'espace de module des hypersurfaces cubiques $\mathcal{C}$. Dans cet exposé, on abordera d'abord un peu de théories de Hodge et de réseaux indispensables à l'étude des hypersurfaces cubiques. Puis on s'intéressera à l'intersection des diviseurs de Hassett. Ceci nous permettra, d'une part, de produire de nouveaux exemples d'hypersurfaces cubiques fibrées rationnelles et d'autre part, de construire des familles d'hypersurfaces cubiques telles que leur motif de Chow est de dimension finie et de type abélien.