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L'algèbre supérieure des A-infini algèbres et les n-multiplaèdres

Dans cet exposé, je présenterai la notion de n-morphismes entre A-infini algèbres. Ces morphismes supérieures sont tels que les 0-morphismes correspondent aux A-infini morphismes et les 1-morphismes aux A-infini homotopies classiques. Je montrerai alors que l'ensemble des morphismes supérieures entre deux A-infini algèbres définit un cadre idoine pour l'étude de l'algèbre supérieure des A-infini algèbres : cet ensemble définit en effet un ensemble simplicial, qui a la propriété d'être un complexe de Kan dont les groupes d'homotopie peuvent être explicitement calculés. J'expliquerai par la suite comment la combinatoire des n-morphismes entre A-infini algèbres est encodée par de nouvelles familles de polytopes, que j'appelle les n-multiplaèdres et qui généralisent les multiplaèdres standard. Ils sont construits à partir des simplexes et des multiplaèdres standard, en relevant le morphisme de Alexander-Whitney au niveau des simplexes. La combinatoire définie dans ce contexte peut alors être décrite de manière ad hoc en terme de partitions chevauchantes. Si le temps le permet, j'expliquerai finalement comment cette algèbre supérieure des A-infini algèbres peut être réalisée en théorie de Morse, à travers le compte d'espaces de modules d'arbres de gradient perturbés.