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Posets et catégories Calabi-Yau fractionnaires

En combinatoire, plusieurs formules célèbres d'énumération (partitions planes, matrices à signes alternants, permutations triables-par-deux-piles, etc) font intervenir un type particulier de formule produit. Il se trouve qu'exactement le même type de formule donne le nombre de Milnor d'une singularité quasi-homogène d'une fonction polynomiale de $\mathbb{C}^m$ dans $\mathbb{C}$. Il semble possible d'établir une connexion par le biais des catégories dérivées. Du coté combinatoire, ceci fait intervenir les modules sur l'algèbre d'incidence de certains ordres partiels. Du coté des singularités, on a besoin d'une catégorification de la théorie de Milnor, qui pourrait provenir d'une hypothétique construction de type Fukaya. On présentera des exemples du coté combinatoire, et notamment la manière de calculer un invariant appelé le polynôme de Coxeter. Du coté géométrique, on rappellera la fibration de Milnor et sa monodromie et on donnera les propriétés attendues de la catégorification recherchée, notamment le fait que l'on devrait obtenir une catégorie Calabi-Yau-fractionnaire.