Séminaire Gaston Darboux
vendredi 21 avril 2006 à 11:15 - salle 431
Matthieu Gendulphe (Bordeaux)
Paysage systolique en caractéristique -1
La systole d'une variété riemannienne compacte est la longueur minimale d'une courbe non contractile et non homotope à un bord. Dans le cas des surfaces de Riemann hyperboliques, en tant que minimum des fonctions longueur des géodésiques, la systole définit une fonction continue sur l'espace de Teichmüller invariante sous l'action du groupe modulaire. Le problème principal consiste alors en la détermination des maxima de cette fonction. Durant la décemmie 1993-2003, les travaux de Paul Schmutz-Schaller marquèrent une avancée importante dans la recherche de surfaces maximales, et ceux de Christophe Bavard fournirent un cadre théorique agréable calqué sur celui des réseaux euclidiens. Toutefois, le maximum global de la systole n'est toujours connu qu'en genre 1 et 2. Nous allons nous intéresser au cas des surfaces hyperboliques compactes de caractéristique -1, et en particulier à la surface fermée non orientable de genre 3. Nous étudierons la géométrie de ces surfaces, puis l'action des groupes modulaires sur les espaces de Teichmüller correspondants. Tout ceci nous premettra de déterminer sans difficulté l'inégalité systolique optimale de chacune de ces surfaces.