Séminaire Algèbre Géométrie Algébrique Topologie Algébrique
jeudi 14 septembre 2006 à 09:45 - salle 431
Álvaro Rittatore (Universidad de la República, Montevideo)
Les monoïdes algébriques dont le groupe des inversibles est affine sont nécessairement affines
Soit $k$ un corps algébriquement clos. Un monoïde algébrique est
une variété algébrique irréductible $M$ munie d'un produit
associatif $m:M\times M\to M$ de sorte que $m$ es un morphisme de
variétés et tel qu'il existe un élément $1\in M$ neutre pour
le produit.
Il est bien connu que si $M$ est un monoïde algébrique, alors
$G(M)=\{ g\in M\mathrel{:} \exists g^{-1}\} $ est un groupe
algébrique, ouvert dans $M$. En particulier, $M$ est une immersion
simple du groupe $G(M)$.
Mumford a montré que si $M$ est une variété projective, alors
$G(M)=M$, c'est-à-dire $M$ est une variété abélienne. En 1982
L. Renner montra que si $M$ est une variété quasi-affine, alors
$M$ est nécessairement affine, et posa la question suivante:
Soit $M$ un monoïde algébrique tel que $G(M)$ est un groupe
algébrique affine ; est-ce que $M$ est nécessairement affine?
Dans cet exposé on donnera une réponse affirmative à cette question.
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