Séance Séminaire

Séminaire Gaston Darboux

Théorème de décomposition de Mostow et Applications

Soit $G$ un groupe de Lie compact connexe semi-simple d'alg\`ebre de Lie $\g$. Le th\'eor\`eme de d\'ecomposition de Mostow s'\'enonce comme suit. \'Etant donn\'e un sous-espace vectoriel $\h$ de $\g$ tel que $[X, [X, Y]] \in \h$ pour tous $X$, $Y$ dans $\h$, le groupe de Lie complexifi\'e $G^{\C}$ de $G$ est hom\'eomorphe au produit $G \times \exp i\mathfrak{m} \times \exp i\h$, o\`u $\mathfrak{m}$ est l'orthogonal de $\h$ dans $\g$ relativement \`a la forme de Killing. Ce th\'eor\`eme repose sur la g\'eom\'etrie \`a courbure n\'egative de l'espace des matrices sym\'etriques d\'efinies positives, et sur la caract\'erisation de ses sous-espaces totalement g\'eod\'esiques. Nous discuterons l'analogue de ce th\'eor\`eme pour un $L^{*}$-groupe de dimension infinie et nous l'utiliserons pour construire des m\'etriques hyperk\"ahl\'eriennes sur certaines orbites coadjointes (affines) d'un $L^{*}$-groupe. Comme corollaire, nous obtiendrons en particulier une famille \`a un param\`etre de m\'etriques hyperk\"ahl\'eriennes sur une complexification naturelle de la grassmannienne restreinte.