Algèbre, Géométrie Algébrique, Représentations, Topologie, Homologie, Arithmétique

Programme 2021-2022 : Complexes de Graphes et Espaces de Modules de Courbes

Présentation

L'objectif de ce groupe de travail est d'étudier les travaux de Chan-Galatius-Payne sur la cohomologie des espaces de modules de courbes, notamment l'article [CGP18]. En particulier, nous essayerons de comprendre les liens qu'entretiennent les objets mathématiques qui suivent :
  1. L'espace de module des courbes algébriques stables (éventuellement avec points marqués).
  2. L'espace de module des courbes tropicales stables (éventuellement avec points marqués).
  3. Le complexe des graphes de Kontsevich.
  4. L'algèbre de Lie de Grothendieck-Teichmüller.
  5. Les automorphismes extérieurs de groupes libres (et le "outer space" de Culler-Vogtmann).
L'objectif premier sera de comprendre les ingrédients de la preuve du résulat principal de [CGP18], qui affirme la croissance (au moins) exponentielle en le genre de certains groupes de cohomologie de l'espace de modules des courbes stables. La démonstration de [CGP18] repose sur des identifications entre
  1. La partie maximale du gradué (pour la filtration par le poids) de la cohomologie de l'espace de modules des courbes stables.
  2. L'homologie d'un espace qui paramétrise les courbes tropicales de volume 1.
  3. L'homologie du complexe des graphes de Kontsevich.
L'objectif fixé plus haut servira de prétexte à l'étude de (1)--(5) et des identifications (i)--(iii).

Programme

Références

[Ba06] Stéphane Baseilhac, Introduction aux espaces de Teichmüller

[BFL] Xavier Buff, Jérôme Fehrenbach, Pierre Lochak, Éléments de géométrie des espaces des modules des courbes

[BE73] Robert Bieri, Beno Eckmann, Groups with Homological Duality Generalizing Poincaré Duality

[BE88] B. H. Bowditch, D. B. A. Epstein, Natural triangulations associated to a surface

[Br74] Kenneth S. Brown, Cohomology of Groups (see also these notes by the same author)

[Br07] Nathan Broaddus, Homology of the curve complex and the Steinberg module of the mapping class group

[Br21] Francis Brown, Invariant differential forms on complexes of graphs and Feynman integrals

[CFGP19] Melody Chan, Carel Faber, Soren Galatius, Sam Payne, The Sn-equivariant top weight Euler characteristic of Mg,n

[CGP19] Melody Chan, Soren Galatius, Sam Payne, Topology of moduli spaces of tropical curves with marked points

[CGP18] Melody Chan, Soren Galatius, Sam Payne, Tropical curves, graph complexes, and top weight cohomology of Mg

[CFP11] Thomas Church, Benson Farb, Andrew Putman, The rational cohomology of the mapping class group vanishes in its virtual cohomological dimension

[Hatch] Allen Hatcher, Triangulations of Surfaces

[Ha86] John L. Harer, The virtual cohomological dimension of the mapping class group of an orientable surface

[Ha88] John L. Harer, The cohomology of the moduli space of curves

[HZ86] John L. Harer, Don Zagier, The Euler characteristic of the moduli space of curves

[MC00] John McCleary, A user's guide to spectral sequences

[MSS11] Shigeyuki Morita, Takuya Sakasai, Masaaki Suzuki, Abelianizations of derivation Lie algebras of the free associative algebra and the free Lie algebra