Thomas Haettel

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Thèmes de recherche : Actions de groupes sur des espaces à courbure négative :

Courbure négative combinatoire : complexes cubiques CAT(0), graphes médians, graphes de Helly, graphes faiblement modulaires, treillis, catégories de Garside...

Courbure négative grossière : espaces Gromov-hyperboliques, espaces hiérarchiquement hyperboliques, espaces grossièrement médians, graphes grossièrement Helly...

Courbure négative continue : espaces symétriques de type non compact, immeubles, espaces de Teichmüller, espaces CAT(0), espaces L^p par morceaux, espaces métriques injectifs, espaces polyédraux par morceaux, bipeignages géodésiques, Busemann-convexité, bolicité forte, espaces CUB...

Groupes de tresses, groupes de Coxeter, groupes d'Artin-Tits, groupes fondamentaux d'arrangements d'hyperplans, groupes de tresses complexes, groupes de Garside...

Groupes modulaires de surfaces, groupes hiérarchiquement hyperboliques...

Groupes de Lie semi-simples sur des corps locaux, réseaux, rigidité

Sous-groupes fermés de groupes topologiques localement compacts

Groupes fondamentaux de surfaces, marches aléatoires et probabilités stationnaires

Prépublications

"New Garside structures and applications to Artin groups", avec Jingyin Huang, preprint (2023), arXiv.

Les groupes de Garside sont des généralisations combinatoires des groupes de tresses, qui possèdent de nombreuses propriétés algébriques, géométriques et algorithmiques. Dans cet article, nous proposons une méthode pour réaliser le produit direct d'un groupe 𝐺 par ℤ comme un groupe de Garside, avec des hypothèses simples sur 𝐺. Cette méthode fournit de nombreux nouveaux exemples de groupes de Garside, en particulier certains groupes à petite simplification (incluant les groupes de surface) et les groupes ayant une présentation systolique. Notre méthode fonctionne également pour une large famille de groupes d'Artin, amenant de nouvelles conséquences algébriques, géométriques et topologiques pour ces derniers. En particulier, nous démontrons de nouveaux cas de la conjecture du 𝐾(𝜋,1) pour certains groupes d'Artin de type hyperbolique.

"Lp metrics on cell complexes", avec Nima Hoda et Harry Petyt, preprint (2023), arXiv.

Motivés par l'observation que les groupes peuvent être efficacement étudiés à travers leurs actions sur des espaces métriques modelés sur les géométries l1, l2 et l∞, nous étudions des complexes cellulaires munis d'une métrique lp pour p arbitraire. Sous des hypothèses faibles pouvant être testées localement, nous établissons des propriétés de courbure négative pour ces complexes, telles que la convexité au sens de Busemann et la bolicité forte. Nous détaillons également le comportement des géodésiques pour ces métriques dans le cas particulier des complexes cubiques CAT(0).

"A link condition for simplicial complexes, and CUB spaces", preprint (2022), arXiv.

Nous motivons l'étude des espaces métriques ayant un unique bipeignage convexe, que nous appelons espaces CUB. Ceux-ci incluent de nombreuses notions classiques de courbure négative, comme les espaces CAT(0) et les espaces Busemann-convexes. Les groupes ayant une action géométrique sur un espace CUB ont de nombreuses propriétés intéressantes.
Nous souhaitons déterminer quand un complexe simplicial, muni d'une métrique polyédrale, est CUB. Pour cela, nous établissons un critère de link, disant essentiellement que le complexe est localement un treillis. Ceci généralise le critère de link de Gromov pour les complexes cubiques, pour la métrique ℓ∞.
Ce critère de link s'applique à de nombreux exemples, notamment des immeubles euclidiens, des simplexes de groupes, des complexes d'Artin de groupes d'Artin euclidiens, des groupes de Garside (faibles), certains complexes d'arcs et de courbes, et des surfaces minimales de Seifert de noeuds.

"Locally elliptic actions, torsion groups, and nonpositively curved spaces", avec Damian Osajda, prépublication (2021), arXiv.

En étendant et unifiant plusieurs conjectures et questions ouvertes bien connues, nous conjecturons que les actions localement elliptiques (tout élément a une orbite bornée) de groupes de type fini par automorphismes sur des complexes à courbure négative ou nulle ont des points fixes globaux. En particulier, les groupes de torsion de type fini ne peuvent pas agir sur de tels complexes.
Nous prouvons ces conjectures pour une large famille d'espaces, incluant toutes les familles infinies d'immeubles euclidiens, les complexes de Helly, certains complexes à petite simplification graphique et systoliques, les graphes hyperboliques uniformément localement finis. Nous présentons de nombreuses conséquences de ce résultat, notamment concernant la continuité automatique.
Nous en profitons pour montrer plusieurs résultats concernant les automorphismes de graphes de Helly. Ils ont un intérêt propre, et incluent un résultat de classification : tout automorphisme d'un graphe de Helly de dimension combinatoire finie est elliptique ou hyperbolique, avec une distance de translation rationnelle. Une conséquence est que les groupes avec des éléments distordus ne peuvent agir proprement sur de tels graphes. Nous présentons et étudions également une nouvelle notion de chemin géodésique de cliques. Leurs propriétés de passage du local au global sont cruciales pour nos preuves de points fixes.

"Tangent bundles of hyperbolic spaces and proper affine actions on Lp spaces", avec Indira Chatterji, François Dahmani et Jean Lécureux, prépublication (2019), arXiv.

Nous définissons une notion de fibré tangent de courbure négative d'un espace métrique mesuré. Nous montrons que si un groupe G agit sur un espace métrique mesuré avec un fibré tangent de courbure négative, alors G agit sur un espace Lp, et de plus cette action est propre sous certaines hypothèses. Nous montrons ensuite que ce résultat s'applique au cas où X est un espace Gromov-hyperbolique.

"Horofunction Compactifications of Symmetric Spaces", avec Anna-Sofie Schilling, Anna Wienhard et Cormac Walsh, prépublication (2018), arXiv.

Nous étudions des compactifications par horofonctions d'espaces symétriques pour des métriques de Finsler invariantes. Nous montrons que toute compactification de Satake (généralisée) peut être obtenue comme une compactification par horofonctions pour une métrique de Finsler polyédrale.

Articles publiés ou acceptés pour publication

"Lattices, injective metrics and the K(π,1) conjecture", accepté à Algebraic & Geometric Topology (2023), arXiv.

Partant d'un treillis muni d'une action de Z ou de R, nous construisons un graphe de Helly ou un espace métrique injectif. Nous en déduisons que le complexe orthoschématique muni de la distance du sup de tout treillis borné gradué est injectif. Nous prouvons également un théorème de Cartan-Hadamard pour les espaces métriques localement injectifs.
Nous appliquons ceci pour montrons que tout groupe de Garside agit sur un graphe de Helly ou un espace métrique injectif. Nous en déduisons également que la métrique du sup naturelle sur tout immeuble euclidien de type A étendu, B, C ou D est injective, et que son épaississement est un graphe de Helly.
Concernant les groupes d'Artin de type Euclidien A ou C, nous montrons que la métrique du sup naturelle sur le complexe de Deligne est injective, que son épaississement est un graphe de Helly, et qu'il admet un bipeignage convexe. Ceci donne une preuve métrique de la conjecture du K(π,1), de même que de nombreuses autres conséquences habituellement connues lorsque le complexe de Deligne a une métrique CAT(0).

"Automorphisms and subdivisions of Helly graphs", accepté à J. of Topology & Analysis, arXiv (2023).

Nous étudions les graphes de Helly de dimension combinatoire finie, i.e. dont l'enveloppe injective est de dimension finie. Nous décrivons des subdivisions simpliciales fines de l'enveloppe injective d'un graphe de Helly, suite aux travaux de Lang. Nous donnons également un modèle simplicial très explicite de l'enveloppe injective d'un graphe de Helly, en termes de cliques qui sont des intersections de boules. Nous utilisons ces subdivisions pour prouver que tout automorphisme d'un graphe de Helly de dimension combinatoire finie est soit elliptique, soit hyperbolique. De plus, tout automorphisme hyperbolique a un axe dans une subdivision Helly adaptée, et sa longueur de translation est rationnelle, de dénominateur uniformément borné.

"Lattices, Garside structures and weakly modular graphs", avec Jingyin Huang, accepté à Journal of Algebra (2023), arXiv.

Dans cet article, nous étudions les espaces de courbure négative de plusieurs complexes simpliciaux avec des simplexes de type A_n tilde, en particulier des immeubles euclidiens de type A_n tilde et des graphes de Cayley de groupes de Garside et leurs quotients par les éléments de Garside.
Tous ces exemples font partie d'un cadre plus général de treillis munis d'une action croissante de ℤ, ainsi que de leurs quotients, étudiés dans un travail précédent du premier auteur. Nous montrons que les treillis et leurs quotients forment des graphes faiblement modulaires, ce qui est une forme de courbure négative combinatoire.
Nous montrons également que de nombreux autres complexes peuvent apparaître dans ce cadre d'un treillis ou d'un quotient de treillis. Ainsi notre résultat s'applique notamment aux complexes d'Artin de groupes d'Artin-Tits de type A_n tilde, à une famille de complexes d'arcs, et aux groupes de Garside faibles provenant d'une structure de Garside catégorique. Nous en profitons également pour éclaircir le lien entre structures de Garside catégoriques, treillis avec une action de ℤ et différents types de complexes étudiés dans cet article. Nous utilisons ce point de vue pour décrire les premiers exemples de groupes de Garside ayant des propriétés exotiques, comme la non-linéarité ou des résultats de rigidité.

"Random walk speed is a proper function on Teichmüller space", avec Aitor Azemar , Vaibhav Gadre, Sébastien Gouëzel, Pablo Lessa et Caglar Uyanik, accepté à Journal of Modern Dynamics, Vol. 19 (2023), arXiv.

Considérons une surface fermée M de caractéristique d'Euler strictement négative, et une mesure de probabilité admissible sur le groupe fondamental de M avec premier moment fini. À chaque point de l'espace de Teichmüller de M correspond une marche aléatoire sur le plan hyperbolique. Nous montrons que la vitesse de cette marche aléatoire est une fonction propre sur l'espace de Teichmüller de M, et nous relions la croissance de cette vitesse à la distance de Teichmüller à un point base. Un argument clé est une adaptation des techniques de pivot de Gouëzel pour des actions d'un groupe fixé sur une suite d'espace métriques hyperboliques.

"Injective metrics on buildings and symmetric spaces", Bull. LMS, Vol. 54, Issue 6, 2297-2313 (2022).

Dans cet article, nous montrons que la distance de Goldman-Iwahori sur l'espace de toutes les normes sur un espace vectoriel fixé vérifie la propriété de Helly pour les boules.
Du côté non-archimédien, nous en déduisons que la plupart des immeubles de Bruhat-Tits classiques peuvent être munis d'une métrique naturelle ℓ∞, qui est injective. Nous prouvons également que la plupart de groupes semisimples classiques sur des corps locaux non archimédiens agissent proprement et cocompactement sur des graphes de Helly. Ceci donne une autre preuve de la biautomaticité de leurs réseaux uniformes.
Du côté archimédien, nous en déduisons que la plupart des espace symétriques classiques de type non compact peuvent être munis d'une métrique naturelle de Finsler, qui se restreint en une norme ℓ∞ sur les plats, et qui est grossièrement injective. Nous prouvons également que la plupart des groupes semisimples classiques sur des corps locaux archimédiens agissent proprement et cocompactement sur des espaces métriques injectifs. Nous identifions l'enveloppe injective de l'espace symétrique de GL(n,R) avec l'espace de toutes les normes sur R^n.
La seule exception est le groupe spécial linéaire : si n=3 ou n est au moins égal à 5 et si K est un corps local, nous montrons que SL(n,K) n'agit pas proprement et cobornément sur un espace métrique injectif.

"Coarse injectivity, hierarchical hyperbolicity, and semihyperbolicity", avec Nima Hoda et Harry Petyt, accepté à Geometry & Topology (2021), arXiv.

Nous relions trois classes d'espaces métriques à courbure négative: les espaces hiérarchiquement hyperboliques, les espaces grossièrement injectifs, et les espaces fortement raccourcis. Nous montrons que espace hiérarchiquement hyperbolique admet une nouvelle distance qui est grossièrement injective. Cette nouvelle distance est quasi-isométrique à la distance originale, et est préservée par le groupe d'automorphismes de l'espace hiérarchiquement hyperbolique. Nous montrons que tout espace métrique grossièrement injectif de géométrie uniformément bornée est fortement raccourci. Par conséquent, les groupes hiérarchiquement hyperboliques--et les groupes modulaires de surfaces en particulier--sont grossièrement injectifs, et les groupes grossièrement injectifs sont fortement raccourcis. À l'aide de ces résultats, nous déduisons plusieurs propriétés importantes des groupes hiérarchiquement hyperboliques, en particulier : ils sont semihyperboliques, ils ont un problème de conjugaison résoluble, ils sont de type FP∞, ils ont un nombre fini de classes de conjugaisons de sous-groupes finis, et leurs sous-groupes abéliens de type fini sont non distordus. De plus, nous montrons que les sous-groupes hiérarchiquement quasiconvexes de groupes hiérarchiquement hyperboliques ont un empilement borné.

"XXL type Artin groups are CAT(0) and acylindrically hyperbolic", Annales de l'Institut Fourier, Tome 72, no. 6, 2541-2555 (2022).

Nous décrivons un espace classifiant simple localement CAT(0) pour les groupes d'Artin de type extra extra large (dont tous les exposants sont au moins 5). De plus, lorsque le groupe n'est pas diédral, nous décrivons une géodésique périodique de rang 1, ce qui implique que ces groupes d'Artin de type extra extra large sont acylindriquement hyperboliques. En conjonction avec la propriété RD prouvée par Ciobanu, Holt et Rees, cela implique la conjecture de Baum-Connes pour tout les groupes d'Artin de type extra extra large.

"Cubulation of some triangle-free Artin-Tits groups", Groups, Geometry and Dynamics, Vol. 16, No. 1, 287-304 (2022), arXiv.

Nous montrons que plusieurs classes de groupes d'Artin-Tits ont une action propre sur un complexe cubique CAT(0) localement fini, de dimension finie. En particulier, cela fournit les premiers exemples de groupes d'Artin-Tits qui sont proprement cubulés, mais qui ne peuvent pas être cocompactement cubulés, même virtuellement. L'existence d'une telle action propre a de nombreuses conséquences intéressantes pour le groupe, en particulier la propriété de Haagerup, et la conjecture de Baum-Connes avec coefficients.

"Virtually cocompactly cubulated Artin-Tits groups", IMRN (2021), 4, 2919-2961, arXiv.

Nous donnons une classification conjecturale des groupes d'Artin-Tits virtuellement cocompactement cubulés (i.e. ayant un sous-groupe d'indice fini agissant géométriquement sur un complexe cubique CAT(0)), que nous prouvons pour les groupes d'Artin-Tits sphériques, de type FC ou de dimension 2. Un cas particulier est que les groupes de tresses ayant au moins 4 tresses ne sont pas virtuellement cocompactement cubulés.

"Hyperbolic rigidity of higher rank lattices", avec un appendice de Camille Horbez et Vincent Guirardel, Ann. Sci ENS (2020), 4e série, t.53, 437-468, arXiv.

Nous montrons que toute action d'un réseau de rang supérieur sur un espace Gromov-hyperbolique est élémentaire. Plus précisément, toute action est elliptique ou parabolique. Ce résultat est une large généralisation du fait que toute action d'un réseau de rang supérieur sur un arbre a un point fixe. Une conséquence est que toute quasi-action d'un réseau de rang supérieur sur un arbre est elliptique, autrement dit il a la propriété (QFA) de Manning. De plus, nous obtenons une preuve nouvelle du théorème de Farb-Kaimanovich-Masur disant que tout morphisme d'un réseau de rang supérieur vers le groupe modulaire d'une surface est d'image finie, sans avoir recours au théorème du sous-groupe normal de Margulis ni à la cohomologie bornée. Enfin, nous montrons que tout morphisme d'un réseau de rang supérieur vers un groupe hiérarchiquement hyperbolique est d'image finie. Dans l'appendice, vincent Guirardel et Camille Horbez déduisent des résultats de rigidité pour des morphismes de réseaux de rang supérieur à valeurs dans divers groupes d'automorphismes extérieurs.

"Higher rank lattices are not coarse median", Algebraic and Geometric Topology 16 (2016), no. 5.

Nous montrons que les espaces symétriques de type non compact et les immeubles épais affines qui ne sont pas de type sphérique A_1^r ne sont pas grossièrement médians au sens de Bowditch. En particulier, ils ne sont pas quasi-isométriques à un complexe cubique CAT(0), ce qui répond à une question de Haglund. Une autre conséquence est que les réseaux de groupes de Lie simples de rang supérieur sur un corps local ne sont pas grossièrement médians.

"The 6-strand braid group is CAT(0)", avec Dawid Kielak et Petra Schwer, Geometriae Dedicata 182 (2016), no. 2.

Nous montrons que les groupes de tresses ayant au plus 6 tresses sont CAT(0), en nous servant des liens étroits entre ces groupes, les complexes de partitions non croisées associées et leur plongement dans des immeubles sphériques de type A. De plus, nous montrons que le complexe orthoschématique de tout treillis borné gradué complémenté est CAT(0), donnant ainsi une réponse partielle à une conjecture de Brady et McCammond.

"Visual limits of flats in symmetric spaces and Euclidean buildings", Transformation Groups 18, Issue 4 (2013), 1055-1089.

Soit X un espace symétrique de type non compact ou un immeuble euclidien localement fini fortement transitif, et notons B le bord géodésique de X. Nous ramenons l'étude des limites visuelles de plats maximaux de X à celle des limites d'appartements dans l'immeuble sphérique B : ceci définit une compactification naturelle et géométrique de l'espace des plats maximaux de X. Nous déterminons ensuite toutes les dégénérescences possibles de tels appartements lorsque X est de rang 1, associé à un groupe classique de rang 2, ou bien à PGL(4). En particulier, nous mettons en évidence de remarquables comportements de limites visuelles de plats maximaux dans des espaces symétriques variés de petit rang, ainsi que d'étonnantes restrictions algébriques qui apparaissent.

"Compactification de Thurston d'espaces de réseaux marqués et de l'espace de Torelli", publié dans Groups, Geometry and Dynamics, Vol.9, Issue 2 (2015), 331-368.

Nous définissons une compactification des espaces symétriques de type non compact, vus comme espaces de classes d'isométries de réseaux marqués, analogue à la compactification de Thurston de l'espace de Teichmüller, dont nous montrons qu'elle est isomorphe de manière équivariante à une compactification de Satake. Nous nous en servons ensuite pour définir une nouvelle compactification de l'espace de Torelli d'une surface hyperbolique avec des points marqués, dont nous montrons qu'elle est isomorphe de manière équivariante à la compactification de Satake de l'image de l'application période. Enfin, nous décrivons une stratification naturelle d'une partie du bord.

"Compactification de Chabauty de l'espace des sous-groupes de Cartan de SL_n(R)", publié dans Mathematische Zeitschrift 274, Issue 1 (2013), 573-601.

Soit G un groupe de Lie réel semisimple de centre fini, ayant un nombre fini de composantes connexes et sans facteur compact. Nous nous intéressons à l'espace des sous-groupes de Cartan de G, qui peut être aussi vu comme l'espace des plats maximaux de l'espace symétrique de G. Nous définissons sa compactification de Chabauty comme son adhérence dans l'espace des sous-groupes fermés de G, muni de la topologie de Chabauty. Nous montrons ensuite que lorsque le rang réel de G vaut 1, ou que G=SL3(R) ou SL4(R), cette compactification est égale à l'ensemble des sous-groupes fermés connexes abéliens de dimension égale au rang réel de G, de spectre réel. Et dans le cas de SL3(R), nous étudions sa topologie plus finement et nous montrons que l'espace est simplement connexe.

"Compactification de Chabauty des espaces symétriques de type non compact", publié dans Journal of Lie Theory 20 (2010), 437-468.

L'espace des sous-groupes fermés d'un groupe localement compact est muni d'une topologie naturelle appelée topologie de Chabauty. Soit X un espace symétrique de type non compact, et G son groupe d'isométries. L'espace X s'identifie au sous-espace des sous-groupes compacts maximaux de G : en considérant l'adhérence, on obtient la compactification de Chabauty de X. En utilisant des arguments plus simples que ceux du livre de Guivarc'h, Ji et Taylor, nous décrivons les sous-groupes apparaissant au bord de cette compactification.

"L'espace des sous-groupes fermés du groupe R x Z", publié dans Algebraic and Geometric Topology 10 (2010), 1395-1415.

L'espace des sous-groupes fermés d'un groupe topologique localement compact est muni d'une topologie naturelle appelée topologie de Chabauty. Nous décrivons complètement l'espace des sous-groupes fermés du groupe RxZ, qui n'est pas trivial: par exemple, son groupe fondamental n'est pas dénombrable.

Notes de cours et articles d'exposition

"Group actions on injective spaces and Helly graphs", notes pour un minicours au CRM Montréal en juin 2023, arXiv.

Ce sont les notes d'un minicours sur les actions de groupes sur les espaces injectifs et les graphes de Helly, donné au CRM Montréal en juin 2023. Nous présentons les bases des espaces métriques et des graphes de Helly, en insistant sur le parallèle entre les deux théories. Nous décrivons aussi diverses propriétés élémentaires des actions de groupes sur ces espaces. Nous présentons plusieurs constructions d'espaces métriques injectifs et de graphes de Helly munis d'actions intéressantes de groupes de nature géométrique. Nous donnons également quelques exercices et questions ouvertes à la fin.

"La conjecture du K(π,1) pour les groupes d'Artin affines (d'après Paolini et Salvetti)", notes pour un exposé Bourbaki en juin 2022, arXiv. Voici un lien vers les transparents de l'exposé.

Considérons un groupe de Coxeter W affine, agissant par isométries sur l'espace euclidien R^n, ainsi que l'arrangement des hyperplans de ses réflexions. Le complémentaire Y_W du complexifié de cet arrangement dans C^n, quotienté par W, a pour groupe fondamental le groupe d'Artin affine G_W associé à W. La conjecture du K(π,1) affirme dans ce cas que l'espace Y_W est un espace classifiant pour G_W. Elle a été démontrée récemment par Paolini et Salvetti, en s'appuyant sur les travaux de McCammond et Sulway. Nous présenterons des ingrédients de la preuve, qui repose notamment sur l'étude des structures de Garside duales pour les groupes d'Artin affines, les factorisations des isométries euclidiennes et la décortiquabilité des partitions non croisées affines. Une conséquence est que les groupes d'Artin affines, ainsi que les groupes crystallographiques tressés, ont un espace classifiant fini.

Mémoires

"Géométrie des groupes d'Artin, des réseaux et des espaces hyperboliques", mémoire d'HDR (9 décembre 2021), lien TEL, rapporteurs : Yves Benoist, Martin R. Bridson et Cornelia Drutu.
"Compactifications géométriques dans les groupes, les espaces symétriques et les immeubles" (lien theses.fr) manuscrit de thèse sous la direction de Frédéric Paulin (9 décembre 2011), Rapporteurs : Marc Burger et Bertrand Rémy.
"Compactification de Chabauty des espaces symétriques de type non compact", mémoire de mastère deuxième année sous la direction de Frédéric Paulin (2008).
"Fonctions spéciales et théorie des représentations", avec Michal Was, mémoire de maîtrise sous la direction de Charles Torossian (2006).

Encadrement en thèse

Mireille Soergel, à l'IMB Dijon, en codirection avec Luis Paris, a soutenu sa thèse en mai 2023. Maintenant au Max Planck Institut à Leipzig.

Hermès Lajoinie-Dodel, à l'Université de Montpellier, depuis octobre 2021.

Collaborateurs

Séjours de recherche

Ohio State University, Etats-Unis, avec Jingyin Huang, novembre 2022.
UC Santa Barbara, Etats-Unis, avec Jon McCammond, octobre 2022.
IRL CRM, Université de Montréal, Canada, Délégation CNRS 2022-2023.
Université de Vienne, Autriche, avec Chris Cashen, mars 2019.
EPFL, Suisse, avec Masato Mimura, mai 2018.
Université de Lorraine, Nancy, avec Bruno Duchesne, décembre 2016.
Université de Heidelberg, avec Anna Wienhard, mai 2015.
Research in Pairs au MFO Oberwolfach avec Dawid Kielak et Petra Schwer, mai 2014.
Université de Heidelberg, avec Anna Wienhard, décembre 2012.
Université de Princeton, avec Anna Wienhard, juillet 2012.